\chapter{量子初始条件}





暴胀最显著的特点是它提供了产生初始条件的自然机制\textnote{见图6.1}。
暴胀必然产生涨落的原因很简单：暴胀子场$\phi(t)$的演化控制着早期宇宙的能量密度$\rho(t)$，因此控制着暴胀的结束。
从本质上讲，场$\phi$扮演着一个本地“时钟”的角色，它可以读取仍在发生着的暴胀膨胀的量。
根据不确定性原理，在量子力学中，任意精度的计时是不可能的。
相反，量子力学的时钟必然存在一些方差，因此暴胀子将有空间变化的涨落$\delta \phi(t, \boldsymbol{x})$。
因此，膨胀结束的时间会有局部差异，$\delta t(\boldsymbol{x})$，因此空间的不同区域会膨胀不同的量。
局部膨胀历史中的这些差异，导致了暴胀结束后局部密度的差异$\delta \rho(t, \boldsymbol{x})$，以及共动规范中的曲率扰动$\mathcal{R}(t, \boldsymbol{x})$。
值得注意的是，该理论并不是为了产生这些涨落而设计的，而是它们的起源是处理量子力学暴胀的自然结果。
\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.47\linewidth]{picture/0106.svg}
	\caption{经典背景演化$\bar{\phi}(t)$上的量子涨落$\delta \phi(t, \boldsymbol{x})$。
		区域要求负$\delta \phi$涨落的区域保持势能主导的时间要长于正涨落$\delta \phi$的区域。
		因此，宇宙的不同部分经历了略有不同的演变。暴胀后，这会导致密度涨落$\delta \rho(t, \boldsymbol{x})$。}
\end{figure}






\section{暴胀子涨落：经典的}



在量子化暴胀子的涨落前，我们先看看它们的经典动力学。
从暴胀子的作用量中导出这点是很有用的
\begin{equation}
	S=\int \mathrm{d} \eta \mathrm{d}^3 x \sqrt{-g}\left[\frac{1}{2} g^{\mu \nu} \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi-V(\phi)\right],
\end{equation}
其中$g \equiv \operatorname{det}\left(g_{\mu \nu}\right)$。
为了研究线性化的动力学，我们需要涨落中的作用量二阶形式。
通常，从耦合的涨落$\delta \phi$和$\delta g_{\mu \nu}$中找到二阶作用量有点困难。
然而，通过方便地选取规范，该问题可极大简化。
在本节中，我们将使用平直空间规范，在该规范中，我们可以利用选择坐标系的自由将空间度规设定为不受扰动的，$g_{i j}=-a^2 \delta_{i j}$。
在此规范中，扰动相关信息的携带由暴胀子扰动$\delta \phi$和度规扰动$\delta g_{0 \mu}$完成。
爱因斯坦方程将$\delta g_{0 \mu}$和$\delta \phi$联系了起来。
平直空间规范的一个重要特征是，相对于暴胀子的涨落，度规扰动$\delta g_{0 \mu}$被慢滚参数因子$\varepsilon$抑制；特别地，$\delta g_{0 \mu}$在极限$\varepsilon \rightarrow 0$时为零。
这意味着，在慢滚展开的首阶，我们可以忽略时空几何的涨落，独立对待暴胀子场的扰动\textnote{在一般的规范中，暴胀子和度规的扰动同等重要，必须一起研究}。
这就使得我们的工作简单得多。



在未受扰动的FRW度规下计算（6.1.1），我们发现
\begin{equation}
	S=\int \mathrm{d} \eta \mathrm{d}^3 x\left[\frac{1}{2} a^2\left(\left(\phi^{\prime}\right)^2-(\nabla \phi)^2\right)-a^4 V(\phi)\right] .
\end{equation}
很方便地将扰动的暴胀子场写成
\begin{equation}
	\phi(\eta, \boldsymbol{x})=\bar{\phi}(\eta)+\frac{f(\eta, \boldsymbol{x})}{a(\eta)} .
\end{equation}
为了得到$f(\eta, \boldsymbol{x})$的线性运动方程，我们需要将作用量（6.1.2）展开到涨落的二阶。
经过一番计算，我们发现
\begin{equation}
	S_{(2)}=\int \mathrm{d} \eta \mathrm{d}^3 x \frac{1}{2}\left[\left(f^{\prime}\right)^2-(\nabla f)^2+\frac{a^{\prime \prime}}{a} f^2\right] .
\end{equation}
\begin{derivation}
---将（6.1.3）代入（6.1.2），并将所有带有$f$二因子的项隔离，我们得到
\begin{equation}
	S_{(2)}=\frac{1}{2} \int \mathrm{d} \eta \mathrm{d}^3 x\left[\left(f^{\prime}\right)^2-(\nabla f)^2-2 \mathcal{H} f f^{\prime}+\left(\mathcal{H}^2-a^2 V_{, \phi \phi}\right) f^2\right] .
\end{equation}
对项$f f^{\prime}=\frac{1}{2} \partial_\eta\left(f^2\right)$进行分部积分，得到
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		S_{(2)} & =\frac{1}{2} \int \mathrm{d} \eta \mathrm{d}^3 x\left[\left(f^{\prime}\right)^2-(\nabla f)^2+\left(\mathcal{H}^{\prime}+\mathcal{H}^2-a^2 V_{, \phi \phi}\right) f^2\right] \\
		& =\frac{1}{2} \int \mathrm{d} \eta \mathrm{d}^3 x\left[\left(f^{\prime}\right)^2-(\nabla f)^2+\left(\frac{a^{\prime \prime}}{a}-a^2 V_{, \phi \phi}\right) f^2\right]
	\end{aligned}
\end{equation}
在慢滚暴胀期间，我们
\begin{equation}
	\frac{V_{, \phi \phi}}{H^2} \approx \frac{3 M_{\mathrm{pl}}^2 V_{, \phi \phi}}{V}=3 \eta_V \ll 1 .
\end{equation}
由于$a^{\prime}=a^2 H$，其中$H \approx$常数，我们也有
\begin{equation}
	\frac{a^{\prime \prime}}{a} \approx 2 a^{\prime} H=2 a^2 H^2 \gg a^2 V_{, \phi \phi} .
\end{equation}
因此，我们可以丢掉（6.1.6）中的$V_{, \phi \phi}$项，得出（6.1.4）。
\end{derivation}
作用量（6.1.4）意味着如下运动方程
\begin{equation}
	f_{\boldsymbol{k}}^{\prime \prime}+\left(k^2-\frac{a^{\prime \prime}}{a}\right) f_k=0, \quad f_k(\eta) \equiv \int \frac{\mathrm{d}^3 x}{(2 \pi)^{3 / 2}} f(\eta, \boldsymbol{x}) e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}}
\end{equation}
有时这被称为Mukhanov--Sasaki\textnote{MS}方程。
\begin{exercise}
---直接从Klein--Gordon方程\textnote{$g^{\mu \nu} \nabla_\mu \nabla_\nu \phi=-V_{, \phi}$}中导出（6.1.9）。
\end{exercise}
在准德西特背景中，我们有$a^{\prime \prime} / a \approx 2 \mathcal{H}^2=2 / \eta^2$，而MS方程（6.1.9）变为
\begin{equation}
	f_k^{\prime \prime}+\left(k^2-\frac{2}{\eta^2}\right) f_k=0 .
\end{equation}
暴胀的一个关键特征是共动哈勃半径$\mathcal{H}^{-1}=(a H)^{-1}$收缩\textnote{标度因子为$a \approx-1 /(H \eta)$，共形时间$\eta$从$-\infty$到$ 0  $}。
给定傅里叶模式的特征演化如图6.2所示：在早期，$|\eta| \gg k^{-1}$，模在哈勃半径内。
在此极限下，MS方程简化为简谐振子的运动方程，
\begin{equation}
	f_k^{\prime \prime}+k^2 f_k \approx 0 \quad(\text { for }|k \eta| \gg 1) .
\end{equation}
这些振子的量子涨落提供了宇宙结构的起源。
我们将在$\S 6.2$中回顾谐振子的量子化，并在$\S 6.3$将讨论升级为暴胀子的涨落。
\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.76\linewidth]{picture/0108.svg}
	\caption{在暴胀间和暴胀后的扰动演化：共动哈勃半径\textnote{“视界”}$\mathcal{H}^{-1}$在暴胀期间收缩，并在随后的FRW演化中增长。
		这意味着，共动标度$k^{-1}$在早期退出视界，在晚期又重新进入视界。
		当曲率扰动$\mathcal{R}$在视界之外时它们不会演化，因此，我们对于暴胀期间视界退出时关联函数$\left\langle\left|\mathcal{R}_k\right|^2\right\rangle$的计算，可以直接与后期的可观测值联系起来。}
\end{figure}




在暴胀过程中的某些个时刻，模跨越视界，$|k \eta|=1$。
此时，可以方便地切换到共动曲率扰动$\mathcal{R}$的描述中来。
在$\S 4.4$中我们已证明，在视界外\textnote{即对于$|k \eta| \ll 1$}场$\mathcal{R}$是恒定的。
在视界穿越处曲率扰动的方差，$\langle\left|\mathcal{R}_{k=\mathcal{H}}\right|^2\rangle$，将成为后暴胀FRW宇宙中扰动演化的初始条件。






\section{量子谐振子}


我们的目标是按照量子场论的标准方法对场$f$进行量子化。
然而，在我们这样做之前，让我们研究一个稍微简单一点的问题\footnote{它看起来更简单的原因是它避免了傅里叶标记、$ \delta $函数等引起的干扰。物理原理是完全相同的。}：一维谐振子的量子力学。


考虑一个质量为$m$的物体与弹性系数为$\kappa$的弹簧相连。
设$q$为物体偏离平衡点的距离。
运动方程为$m \ddot{q}+\kappa q=0$，或
\begin{equation}
	\ddot{q}+\omega^2 q=0,
\end{equation}
我们已定义$\omega^2 \equiv \kappa / m$。
这跟（6.1.11）是相同的方程，为$\omega=k$。



\subsubsection{正则量子化}




让我提醒你如何量子化谐振子：
\begin{itemize}
\item 
\textbf{第一步}：量子算符

首先，我们将经典变量$q, p \equiv \dot{q}$推广到量子算符$\hat{q}, \hat{p}$，并加以正则对易关系
\begin{equation}
	[\hat{q}, \hat{p}]=i,
\end{equation}
单位上有$\hbar \equiv 1$。
运动方程表明，如果在某些初始时该施加此关系，则对易子始终保持不变。

\item 
\textbf{第二步}：模式展开

注意，我们使用的是海森堡绘景，其中算符随时间变化，而态是与时间无关的。
算符$\hat{q}(t)$的解由两个初始条件$\hat{q}(0)$和$\hat{p}(0)=\partial_t \hat{q}(0)$确定。
由于演化方程是线性的，所以这些算符的解也是线性的。
用$\hat{q}(0)$和$\hat{p}(0)$组成一个时间无关的非厄米算子$\hat{a}$是很方便的，根据该算子，解可以写成
\begin{equation}
	\hat{q}(t)=q(t) \hat{a}+q^*(t) \hat{a}^{\dagger},
\end{equation}
其中\textnote{复数的}模式函数$q(t)$满足经典运动方程$\ddot{q}+\omega^2 q=0$。
当然，$q^*(t)$是$q(t)$的复共轭，$\hat{a}^{\dagger}$是$a$的厄米共轭。



\item 
\textbf{第三步}：归一化

将（6.2.14）代入（6.2.13），得到
\begin{equation}
	W[q] \times\left[\hat{a}, \hat{a}^{\dagger}\right]=1,
\end{equation}
其中我们定义了Wronskian
\begin{equation}
	W[q] \equiv-i\left(q \dot{q}^*-\dot{q} q^*\right)
\end{equation}
为不失一般性，让我们假设选择$q$的解使得实数$W[q]$为正。
然后，函数$q$可以重新标度\textnote{$q \rightarrow \lambda q$}，使得
\begin{equation}
	W[q] \equiv 1,
\end{equation}
因此
\begin{equation}
	\left[\hat{a}, \hat{a}^{\dagger}\right]=1 .
\end{equation}
方程（6.2.18）是谐振子升降算符的标准对易关系。

\item 
\textbf{第四步}：真空状态


真空状态$|0\rangle$被算符$\hat{a}$湮灭：
\begin{equation}
	\hat{a}|0\rangle=0 .
\end{equation}
激发态通过重复应用产生算符$\hat{a}^{\dagger}$来创建。


\end{itemize}



\subsubsection{真空选择}



此时，我们只对模式函数施加了归一化条件$W[q]=1$。
$q(t)$的改变伴随着$\hat{a}$的改变，从而使得解$\hat{q}(t)$保持不变。
通过方程（6.2.19），每个这样的解对都应于一个不同的真空状态。
然而，如果我们要求真空态$|0\rangle$作为哈密顿量的基态，则选择了$q(t)$的一个特殊选择。
要了解这一点，请考虑一般$q(t)$的哈密顿量，
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\hat{H} & =\frac{1}{2} \hat{p}^2+\frac{1}{2} \omega^2 \hat{q}^2 \\
		& =\frac{1}{2}\left[\left(\dot{q}^2+\omega^2 q^2\right) \hat{a} \hat{a}+\left(\dot{q}^2+\omega^2 q^2\right)^* \hat{a}^{\dagger} \hat{a}^{\dagger}+\left(|\dot{q}|^2+\omega^2|q|^2\right)\left(\hat{a} \hat{a}^{\dagger}+\hat{a}^{\dagger} \hat{a}\right)\right] .
	\end{aligned}
\end{equation}
使用$\hat{a}|0\rangle=0$和$\left[\hat{a}, \hat{a}^{\dagger}\right]=1$，我们可以确定哈密顿算符是如何作用于真空态的
\begin{equation}
	\hat{H}|0\rangle=\frac{1}{2}\left(\dot{q}^2+\omega^2 q^2\right)^* \hat{a}^{\dagger} \hat{a}^{\dagger}|0\rangle+\frac{1}{2}\left(|\dot{q}|^2+\omega^2|q|^2\right)|0\rangle .
\end{equation}
我们希望$|0\rangle$是$\hat{H}$的本征态。
在这种情况下，（6.2.21）中的第一项必须为零，这意味着
\begin{equation}
	\dot{q}=\pm i \omega q .
\end{equation}
对于这样的函数$q$，模为
\begin{equation}
	W[q]=\mp 2 \omega|q|^2,
\end{equation}
并且归一化条件的正定性$W[q]>0$选择了（6.2.22）中的负号，
\begin{equation}
	\dot{q}=-i \omega q \quad \Rightarrow \quad q(t) \propto e^{-i \omega t}
\end{equation}
因此，要求真空态为哈密顿量的基态，这就选择了正频率解$e^{-i \omega t}$\textnote{而不是负频率解$e^{+i \omega t}$}。
施加归一化条件$W[q]=1$，我们得到
\begin{equation}
	q(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \omega}} e^{-i \omega t}
\end{equation}
通过这种模式函数的选择，哈密顿量采用了熟悉的形式
\begin{equation}
	\hat{H}=\hbar \omega\left(\hat{a}^{\dagger} \hat{a}+\frac{1}{2}\right),
\end{equation}
其中我们恢复了普朗克常数$\hbar$。
我们看到真空态$|0\rangle$是最小能量为$\frac{1}{2} \hbar \omega$的态。
如果选择除（6.2.25）以外的任何函数来展开位置算符，则被$\hat{a}$湮灭的态将不再是谐振子的基态。






\subsubsection{零点涨落}


位置算符$\hat{q}$在基态$|0\rangle$中的期望值为零
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\langle\hat{q}\rangle & \equiv\langle 0|\hat{q}| 0\rangle \\
		& =\left\langle 0\left|q(t) \hat{a}+q^*(t) \hat{a}^{\dagger}\right| 0\right\rangle \\
		& =0,
	\end{aligned}
\end{equation}
因为$\hat{a}$在从左侧作用时会湮灭$|0\rangle$，而$\hat{a}^{\dagger}$在从右侧作用时会湮灭$\langle 0|$。
然而，位置算符平方的期望值受到有限的零点波动
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\left\langle|\hat{q}|^2\right\rangle & \equiv\left\langle 0\left|\hat{q}^{\dagger} \hat{q}\right| 0\right\rangle \\
		& =\left\langle 0\left|\left(q^* \hat{a}^{\dagger}+q \hat{a}\right)\left(q \hat{a}+q^* \hat{a}^{\dagger}\right)\right| 0\right\rangle \\
		& =|q(t)|^2\left\langle 0\left|\hat{a} \hat{a}^{\dagger}\right| 0\right\rangle \\
		& =|q(t)|^2\left\langle 0\left|\left[\hat{a}, \hat{a}^{\dagger}\right]\right| 0\right\rangle \\
		& =|q(t)|^2 .
	\end{aligned}
\end{equation}
我们看到，量子振子振幅的方差由模式函数的平方给出
\begin{equation}
	\left\langle|\hat{q}|^2\right\rangle=|q(t)|^2=\frac{\hbar}{2 \omega} .
\end{equation}
为了计算由暴胀产生的涨落谱，
这就是我们所需要了解的关于谐振子量子力学的所有信息。







\section{暴胀子涨落：量子的}




让我们回到暴胀子涨落$f=a \delta \phi$的二次作用量（6.1.4）。
$f$的共轭动量为
\begin{equation}
	\pi \equiv \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f^{\prime}}=f^{\prime} .
\end{equation}
我们施行正则量子化，跟谐振子的情况一样。


\subsubsection{正则量子化}

我们遵循与上一小节相同的步骤：
\begin{itemize}
\item 
\textbf{第一步}：量子算符


我们将场$f(\eta, \boldsymbol{x})$和$\pi(\eta, \boldsymbol{x})$推广为量子运算符$\hat{f}(\eta, \boldsymbol{x})$和$\hat{\pi}(\eta, \boldsymbol{x})$。算符满足等时对易关系
\begin{equation}
	\left[\hat{f}(\eta, \boldsymbol{x}), \hat{\pi}\left(\eta, \boldsymbol{x}^{\prime}\right)\right]=i \delta_D\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}\right) .
\end{equation}
这是方程（6.2.13）的场论对应物。
$ \delta  $函数是局域性的标志：空间中不同点的模式是独立的，因此相应的算符对易。
在傅里叶空间中，我们发现
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		{\left[\hat{f}_{\boldsymbol{k}}(\eta), \hat{\pi}_{\boldsymbol{k}^{\prime}}(\eta)\right] } & =\int \frac{\mathrm{d}^3 \boldsymbol{x}}{(2 \pi)^{3 / 2}} \int \frac{\mathrm{d}^3 \boldsymbol{x}^{\prime}}{(2 \pi)^{3 / 2}} \underbrace{\left[\hat{f}(\eta, \boldsymbol{x}), \hat{\pi}\left(\eta, \boldsymbol{x}^{\prime}\right)\right]}_{i \delta_D\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}\right)} e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}} e^{-i \boldsymbol{k}^{\prime} \cdot \boldsymbol{x}^{\prime}} \\
		& =i \int \frac{\mathrm{d}^3 \boldsymbol{x}}{(2 \pi)^3} e^{-i\left(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}^{\prime}\right) \cdot \boldsymbol{x}} \\
		& =i \delta_D\left(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}^{\prime}\right),
	\end{aligned}
\end{equation}
其中$ \delta $函数意味着具有不同波长的模式对易。
方程（6.3.32）与（6.2.13）相同，除了适用于每个独立的傅里叶模式。



\item 
\textbf{第二步}：模式展开

（6.2.14）的模式展开推广如下
\begin{equation}
	\hat{f}_k(\eta)=f_k(\eta) \hat{a}_{\boldsymbol{k}}+f_k^*(\eta) a_k^{\dagger}
\end{equation}
其中$\hat{a}_k$是一个时间无关的算符，$a_k^{\dagger}$是它的厄米共轭，$f_k(\eta)$和它的复共轭$f_k^*(\eta)$是MS方程的两个线性无关解
\begin{equation}
	f_k^{\prime \prime}+\omega_k^2(\eta) f_k=0, \quad \text { where } \quad \omega_k^2(\eta) \equiv k^2-\frac{a^{\prime \prime}}{a} .
\end{equation}
如在下标上去除矢量符号$\boldsymbol{k}$表明，模式函数$f_k(\eta)$和$f_k^*(\eta)$对于具有$k \equiv|\boldsymbol{k}|$的所有傅里叶模式都是相同的。\footnote{由于频率$\omega_k(\eta)$仅取决于$k \equiv|\boldsymbol{k}|$，因此演化不依赖于方向。
	另一方面，常量算符$\hat{a}_{\boldsymbol{k}}$和$\hat{a}_{\boldsymbol{k}}^{\dagger}$定义了可能依赖方向的初始条件。}


\item 
\textbf{第三步}：归一化

将（6.3.33）代入（6.3.32），我们得到
\begin{equation}
	W\left[f_k\right] \times\left[\hat{a}_{\boldsymbol{k}}, \hat{a}_{\boldsymbol{k}^{\prime}}^{\dagger}\right]=\delta_D\left(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}^{\prime}\right),
\end{equation}
其中$W\left[f_k\right]$是模式函数的Wronskian（6.2.16）。
如前所述，参见（6.2.17），我们可以选择将$f_k$使其归一化
\begin{equation}
	W\left[f_k\right] \equiv 1
\end{equation}
方程式（6.3.35）变为
\begin{equation}
	\left[\hat{a}_{\boldsymbol{k}}, \hat{a}_{\boldsymbol{k}^{\prime}}^{\dagger}\right]=\delta_D\left(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}^{\prime}\right)
\end{equation}
这与（6.2.18）相同，除了适用于每个傅里叶模式。
如前所述，算符$\hat{a}_k^{\dagger}$和$\hat{a}_k$可以分别解释为产生算符和湮灭算符。




\item 
\textbf{第四步}：真空状态


如（6.2.19）那样，希尔伯特空间中量子态的构造是通过定义真空态$|0\rangle$
\begin{equation}
	\hat{a}_{\boldsymbol{k}}|0\rangle=0,
\end{equation}
和通过重复应用产生算符$a_k^{\dagger}$生成激发态。






\end{itemize}




\subsubsection{真空选择}



如前所述，我们仍然需要固定模式函数以定义真空态。
尽管对于一般的时间依赖性背景，这个过程可能是不明确的，但对于暴胀，确有一个更好的选择。
为了激发暴胀真空态，让我们回到图6.2。
我们看到，在足够早的时候\textnote{大的负共形时间$\eta$}，所有宇宙学感兴趣的模式都深处于视界内，$k / \mathcal{H} \sim|k \eta| \gg 1$。
这意味着在遥远的过去，所有可观测的模式都具有与时间无关的频率
\begin{equation}
	\omega_k^2=k^2-\frac{a^{\prime \prime}}{a} \approx k^2-\frac{2}{\eta^2} \stackrel{\eta \rightarrow-\infty}{\longrightarrow} k^2,
\end{equation}
Mukhanov--Sasaki方程简化为
\begin{equation}
	f_k^{\prime \prime}+k^2 f_k \approx 0 .
\end{equation}
但这只是闵可夫斯基空间中的自由场方程，两个独立的解是$f_k \propto e^{\pm i k \eta}$。
如上所述，参见方程（6.2.25），只有正频率模式$f_k \propto e^{-i k \eta}$对应于哈密顿量的基态。
我们将选择这种模式来定义暴胀真空态。
实际上，这意味着用\textnote{Minkowski}初始条件求解MS方程
\begin{equation}
	\lim\limits _{\eta \rightarrow-\infty} f_k(\eta)=\frac{1}{\sqrt{2 k}} e^{-i k \eta} .
\end{equation}
这个初始条件定义了一个更好的模式函数设定和一个独特的物理真空，Bunch--Davies真空。



对于慢滚动暴胀，在德西特空间中研究MS方程就足够了
\begin{equation}
	f_k^{\prime \prime}+\left(k^2-\frac{2}{\eta^2}\right) f_k=0 .
\end{equation}
这有以下精确解
\begin{equation}
	f_k(\eta)=\alpha \frac{e^{-i k \eta}}{\sqrt{2 k}}\left(1-\frac{i}{k \eta}\right)+\beta \frac{e^{i k \eta}}{\sqrt{2 k}}\left(1+\frac{i}{k \eta}\right) .
\end{equation}
其中$\alpha$和$\beta$是由初始条件确定的常数。
事实上，初始条件（6.3.41）选择了$\beta=0, \alpha=1$，因此，Bunch--Davies模式函数为
\begin{equation}
	f_k(\eta)=\frac{e^{-i k \eta}}{\sqrt{2 k}}\left(1-\frac{i}{k \eta}\right) .
\end{equation}
由于模式函数现在是完全确定的，因此模式在未来的演化，包括其超视界动力学，都被确定了。



\subsubsection{零点涨落}


最后，我们可以预测算符的量子统计
\begin{equation}
	\hat{f}(\eta, \boldsymbol{x})=\int \frac{\mathrm{d}^3 \boldsymbol{k}}{(2 \pi)^{3 / 2}}\left[f_k(\eta) \hat{a}_{\boldsymbol{k}}+f_k^*(\eta) a_{\boldsymbol{k}}^{\dagger}\right] e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}} .
\end{equation}
与之前一样，$\hat{f}$的期望值为零，即$\langle\hat{f}\rangle \equiv\langle 0|\hat{f}| 0\rangle=0$。
然而，暴胀子涨落的方差有着非零的量子涨落
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\left\langle|\hat{f}|^2\right\rangle & \equiv\left\langle 0\left|\hat{f}^{\dagger}(\eta, \mathbf{0}) \hat{f}(\eta, \mathbf{0})\right| 0\right\rangle \\
		& =\int \frac{\mathrm{d}^3 \boldsymbol{k}}{(2 \pi)^{3 / 2}} \int \frac{\mathrm{d}^3 \boldsymbol{k}^{\prime}}{(2 \pi)^{3 / 2}}\left\langle 0\left|\left(f_k^*(\eta) \hat{a}_{\boldsymbol{k}}^{\dagger}+f_k(\eta) \hat{a}_{\boldsymbol{k}}\right)\left(f_{k^{\prime}}(\eta) \hat{a}_{\boldsymbol{k}^{\prime}}+f_{k^{\prime}}^*(\eta) \hat{a}_{\boldsymbol{k}^{\prime}}^{\dagger}\right)\right| 0\right\rangle \\
		& =\int \frac{\mathrm{d}^3 \boldsymbol{k}}{(2 \pi)^{3 / 2}} \int \frac{\mathrm{d}^3 \boldsymbol{k}^{\prime}}{(2 \pi)^{3 / 2}} f_k(\eta) f_{k^{\prime}}^*(\eta)\left\langle 0\left|\left[\hat{a}_{\boldsymbol{k}}, \hat{a}_{\boldsymbol{k}^{\prime}}^{\dagger}\right]\right| 0\right\rangle \\
		& =\int \frac{\mathrm{d}^3 \boldsymbol{k}}{(2 \pi)^3}\left|f_k(\eta)\right|^2 \\
		& =\int \mathrm{d} \ln k \frac{k^3}{2 \pi^2}\left|f_k(\eta)\right|^2 .
	\end{aligned}
\end{equation}
我们将\textnote{无量纲}功率谱定义为
\begin{equation}
	\Delta_f^2(k, \eta) \equiv \frac{k^3}{2 \pi^2}\left|f_k(\eta)\right|^2
\end{equation}
如（6.2.29）一样，经典解的平方确定了量子涨落的方差。
使用（6.3.44），我们发现
\begin{equation}
	\Delta_{\delta \phi}^2(k, \eta)=a^{-2} \Delta_f^2(k, \eta)=\left(\frac{H}{2 \pi}\right)^2\left(1+\left(\frac{k}{a H}\right)^2\right) \stackrel{\text { superhorizon }}{\longrightarrow}\left(\frac{H}{2 \pi}\right)^2
\end{equation}
我们将使用近似，在视界跨越处的功率谱为
\begin{equation}
	\left.\Delta_{\delta \phi}^2(k) \approx\left(\frac{H}{2 \pi}\right)^2\right|_{k=a H} .
\end{equation}
计算特定时刻\textnote{视界跨越，$k=a H$}的功率谱，隐含地将纯德西特背景的结果扩展到了随时间缓慢演化的准德西特空间。
当$a H$具有不同的值时，不同模式退出视界的时间略有不同。
计算视界跨越处的涨落还有一个额外的好处，即在平直空间规范下我们通过忽略度规涨落而产生的误差不会随着时间累积。







\section{曲率扰动}





在视界穿越时，我们从暴胀子的涨落$\delta \phi$切换到守恒的曲率扰动$\mathcal{R}$。
为此，我们回顾一下关于曲率扰动的规范不变定义
\begin{equation}
	\mathcal{R}=-\Phi+\frac{\mathcal{H}}{\bar{\rho}+\bar{P}} \delta q,
\end{equation}
其中$\delta T^0{ }_j \equiv-\partial_j \delta q$。
我们现在需要在平直空间规范中对此进行计算。
由于度规的空间部分没有受扰动，我们有$\Phi=0$。
扰动的动量密度为
\begin{equation}
	\delta T^0{ }_j=g^{0 \mu} \partial_\mu \phi \partial_j \delta \phi=\bar{g}^{00} \partial_0 \bar{\phi} \partial_j \delta \phi=\frac{\bar{\phi}^{\prime}}{a^2} \partial_j \delta \phi .
\end{equation}
结合$\bar{\rho}+\bar{P}=a^{-2}\left(\bar{\phi}^{\prime}\right)^2$，这意味着
\begin{equation}
	\mathcal{R}=-\frac{\mathcal{H}}{\bar{\phi}^{\prime}} \delta \phi=-H \frac{\delta \phi}{\dot{\bar{\phi}}} .
\end{equation}
注意，表达式（6.4.52）采取了$\mathcal{R}=-H \delta t$的形式，确认了曲率扰动是由到膨胀结束时的时间延迟引起的这种直觉。



因此，在退出视界时$\mathcal{R}$的功率谱为
\begin{equation}
	\Delta_{\mathcal{R}}^2(k)=\left.\left(\frac{H^2}{2 \pi \dot{\bar{\phi}}}\right)^2\right|_{k=a H}
\end{equation}
从现在起，我们将丢掉标签$k=a H$以避免混乱。
在（6.4.53）中的结果也可以写成
\begin{equation}
	\Delta_{\mathcal{R}}^2(k)=\frac{1}{8 \pi^2 \varepsilon} \frac{H^2}{M_{\mathrm{pl}}^2} \text {, }
\end{equation}
其中$\varepsilon$是暴胀的慢滚参数；参见方程（2.3.19）。
$H$和$\varepsilon$的时间相关性导致了$\Delta_{\mathcal{R}}^2(k)$的小尺度相关性。
谱的形式近似为幂律，$\Delta_{\mathcal{R}}^2(k)=A_{\mathrm{s}}\left(k / k_*\right)^{n_{\mathbf{s}}-1}$，具有如下谱指数
\begin{equation}
	n_{\mathrm{s}}-1 \equiv \frac{d \ln \Delta_{\mathcal{R}}^2}{d \ln k}=\frac{d \ln \Delta_{\mathcal{R}}^2}{d \ln (a H)} \approx \frac{d \ln \Delta_{\mathcal{R}}^2}{d \ln a}=\frac{d \ln \Delta_{\mathcal{R}}^2}{H d t}=-2 \varepsilon-\eta,
\end{equation}
其中$\eta \equiv \dot{\varepsilon} /(H \varepsilon)$是第二个慢滚参数。
在标量谱指数上的观测限制为$n_{\mathrm{s}}=0.9603 \pm 0.0073$。
观察到的值与标度不变值$n_{\mathrm{s}}=1$的百分比偏差，是暴胀动力学中时间相关性的第一个直接测量。



\begin{exercise}
---证明对于慢滚暴胀，方程（6.4.54）和（6.4.55）可被写为
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\Delta_{\mathcal{R}}^2 & =\frac{1}{24 \pi^2} \frac{1}{\epsilon_{\mathrm{v}}} \frac{V}{M_{\mathrm{pl}}^4}, \\
		n_{\mathrm{s}}-1 & =-6 \epsilon_{\mathrm{v}}+2 \eta_{\mathrm{v}},
	\end{aligned}
\end{equation}
其中$\epsilon_{\mathrm{v}}$和$\eta_{\mathrm{v}}$是在（2.3.37）中定义的势能慢滚参数。
这表示出了曲率扰动的振幅和依赖暴胀子势能形状的谱指数。
\end{exercise}




\section{引力波}


可以说，对暴胀最清晰的预测是原初引力波谱。
这些是空间度规的张量扰动，
\begin{equation}
	\mathrm{d} s^2=a^2(\eta)\left[\mathrm{d} \eta^2-\left(\delta_{i j}+2 h_{i j}\right) \mathrm{d} x^i \mathrm{~d} x^j\right] .
\end{equation}
我们不会详细讨论暴胀过程中张量涨落的量子产生，而只是勾勒出与标量情况相同的逻辑\textnote{甚至更简单}。





将（6.5.58）代入Einstein--Hilbert作用量中，并展开到二阶
\begin{equation}
	S=\frac{M_{\mathrm{pl}}^2}{2} \int \mathrm{d}^4 x \sqrt{-g} R \quad \Rightarrow \quad S_{(2)}=\frac{M_{\mathrm{pl}}^2}{8} \int \mathrm{d} \eta \mathrm{d}^3 x a^2\left[\left(h_{i j}^{\prime}\right)^2-\left(\nabla h_{i j}\right)^2\right]
\end{equation}
\begin{exercise}
---确认方程（6.5.59）。
提示：不要忘记$h_{i j}$中的一个来自$\sqrt{-g}$的二次项。
\end{exercise}
为方便起见，定义
\begin{equation}
	\frac{M_{\mathrm{pl}}}{2} a h_{i j} \equiv \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc}
		f_{+} & f_{\times} & 0 \\
		f_{\times} & -f_{+} & 0 \\
		0 & 0 & 0
	\end{array}\right) \text {, }
\end{equation}
因此
\begin{equation}
	S_{(2)}=\frac{1}{2} \sum\limits_{\lambda=+, \times} \int \mathrm{d} \eta \mathrm{d}^3 x\left[\left(f_\lambda^{\prime}\right)^2-\left(\nabla f_\lambda\right)^2+\frac{a^{\prime \prime}}{a} f_\lambda^2\right] .
\end{equation}
这只是（6.1.4）作用量的两个复制，一个对应于一种引力波的极化模式，$f_{+, \times}$。
因此，张量模式$\Delta_t^2$的功率谱可以直接从我们之前对$\Delta_f^2$的结果中推断出来，
\begin{equation}
	\Delta_h^2=2 \times\left(\frac{2}{a M_{\mathrm{pl}}}\right)^2 \times \Delta_f^2 .
\end{equation}
使用（6.3.49），我们得到
\begin{equation}
	\Delta_h^2(k)=\left.\frac{2}{\pi^2} \frac{H^2}{M_{\mathrm{pl}}^2}\right|_{k=a H}
\end{equation}
这一结果是对暴胀中最稳健的并且是模式独立的预测。
注意，张量振幅是暴胀期间膨胀率$H$的一个直接测量。
这与标量振幅形成对比，标量振幅取决于$H$和$\varepsilon$。
张量功率谱的形式也是幂律，$\Delta_h^2(k)=A_{\mathrm{t}}\left(k / k_*\right)^{n_{\mathrm{t}}}$，具有如下谱指数
\begin{equation}
	n_{\mathrm{t}}=-2 \varepsilon .
\end{equation}
从观察上来看，$n_t$的微小值很难与零区分开来。
张量振幅通常相对于测量到的标量振幅进行规范化，$A_{\mathrm{s}}=(2.196 \pm 0.060) \times 10^{-9}$\textnote{此处$k_*=0.05 \mathrm{Mpc}^{-1}$}。张标比\textnote{张量与标量之比}为
\begin{equation}
	r \equiv \frac{A_{\mathrm{t}}}{A_{\mathrm{s}}}=16 \varepsilon
\end{equation}
暴胀模型对$\left(n_{\mathrm{s}}, r\right)$做出了预测。
这些参数的最新观测约束如图6.3所示。
\begin{omnipotent}{案例学习}
$m^2 \phi^2$暴胀。---在第2章中，我们证明了$m^2 \phi^2$暴胀的慢滚参数为
\begin{equation}
	\epsilon_{\mathrm{v}}(\phi)=\eta_{\mathrm{v}}(\phi)=2\left(\frac{M_{\mathrm{pl}}}{\phi}\right)^2,
\end{equation}
暴胀结束前的$e$倍数是
\begin{equation}
	N(\phi)=\frac{\phi^2}{4 M_{\mathrm{pl}}^2}-\frac{1}{2} .
\end{equation}
CMB涨落在$\phi=\phi_*$跨越视界时，我们有
\begin{equation}
	\epsilon_{\mathrm{v}, *}=\eta_{\mathrm{v}, *} \approx \frac{1}{2 N_*} .
\end{equation}
因此，谱倾斜和张标比是
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		n_{\mathrm{s}} & \equiv 1-6 \epsilon_{\mathrm{v}, *}+2 \eta_{\mathrm{v}, *}=1-\frac{2}{N_*} \approx 0.97, \\
		r & \equiv 16 \epsilon_{\mathrm{v}, *}=\frac{8}{N_*} \approx 0.13
	\end{aligned}
\end{equation}
其中最后的等式有$N_* \approx 60$。
\end{omnipotent}
\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.58\linewidth]{picture/0117.svg}
	\caption{普朗克+WMAP+BAO对$n_{\mathrm{s}}$和$r$的约束，及几个有代表性的暴胀模型的预测。}
\end{figure}


当前观测宇宙学工作的一个主要目标是探测原初涨落的张量分量。
其振幅取决于暴胀的能量尺度，因此是不可预测的\textnote{即在不同模型间的它会发生变化}。
虽然这使得寻找原初张量模式变得困难，但这也是它令人兴奋的原因。
探测张量将揭示暴胀发生时的能量尺度，为驱动暴胀膨胀的物理学提供重要线索。



大多数对张量的搜寻集中于张量模式在CMB极化中留下的印记。
极化是通过在重结合之前各向异性辐射场与自由电子的散射而产生的。
引力波背景的存在造成了时空的各向异性拉伸，这导致了一种特殊类型的极化模式：即所谓的B模模式\textnote{一种“旋度”不为零的模式}。
这种模式不能由标量\textnote{密度}涨落产生，因此它是原初张量\textnote{引力波}的独特特征。
目前，大量的地基、气球和卫星实验正在搜索由暴胀预测的B模信号。
B模探测将是全面了解宇宙中所有结构起源的一个里程碑。































